Взаимосвязь между фокусным расстоянием и увеличением выпуклой линзы 

Увеличение и фокусное расстояние выпуклой линзы — это два тесно связанных, но различных оптических параметра. Взаимосвязь между ними зависит от конкретных условий наблюдения (например, используется ли линза для формирования изображения или в качестве увеличительного стекла).

1. Краткое изложение основной взаимосвязи

Увеличение — это, по сути, отношение размера изображения к размеру объекта. Оно определяется совместно расстоянием до объекта (расстоянием от объекта до линзы) и расстоянием до изображения (расстоянием от изображения до линзы). Фокусное расстояние, однако, является свойством самой линзы и определяет ее способность сходиться лучам света.
Поэтому фокусное расстояние не равно увеличению напрямую, но косвенно определяет увеличение при определенных условиях, влияя на соотношение между расстоянием до объекта и расстоянием до изображения.

2. Сценарий 1: Использование в качестве увеличительного стекла (образование виртуального изображения, наблюдаемого невооруженным глазом)

Это наиболее распространенное и интуитивно понятное представление о «увеличении». Когда объект находится на расстоянии, не превышающем фокусное расстояние выпуклой линзы, он образует прямое, увеличенное виртуальное изображение.
Формула: Коэффициент увеличения MM увеличительного стекла приблизительно равен:
M \approx \frac{25\ \text{см}}{f}M≈f25 см
MM: коэффициент увеличения
ff: фокусное расстояние линзы (единица измерения: см)
25\ \text{см}25 см: ближняя точка, т. е. расстояние, на котором человеческому глазу наиболее комфортно и он видит наиболее четко.
Зависимость: чем короче фокусное расстояние, тем больше увеличение.

Например: выпуклая линза с фокусным расстоянием f = 10\ \text{см}f=10 см имеет увеличение примерно 25 / 10 = 2,525/10=2,5 раза.
Выпуклая линза с фокусным расстоянием f = 5\ \text{см}f=5 см имеет увеличение примерно 25 / 5 = 525/5=5 раз.
Это происходит потому, что линза с меньшим фокусным расстоянием обладает большей преломляющей способностью, в результате чего лучи света расходятся под более широким углом при попадании в глаз. Это приводит к образованию более крупного изображения объекта на сетчатке, из-за чего он кажется увеличенным.

3. Случай 2: Используется для проецирующего изображения (формирования реального изображения, например, в проекторах и фотоаппаратах)

Когда объект находится на расстоянии, превышающем одно фокусное расстояние выпуклой линзы, образуется перевёрнутое, увеличенное или уменьшенное реальное изображение. Увеличение в этом случае называется поперечным увеличением.
Формула:
M =\frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}M=hohi=−uv
M: Поперечное увеличение (абсолютное значение больше 1 указывает на увеличение; меньше 1 — на уменьшение)
h_i: Высота изображения
h_o: Высота объекта
vv: Расстояние до изображения
uu: Расстояние до объекта (обычно принимается за положительное значение)
Отрицательный знак указывает на то, что изображение перевернуто.
Формула образования изображения в линзе (формула Гаусса):
\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}f1=u1+v1

4. Анализ зависимостей:

Когда объект находится на расстоянии от одного до двух фокусных расстояний (f < u < 2ff<u<2f): образуется перевёрнутое, увеличенное реальное изображение (|M| > 1∣M∣>1), и расстояние до изображения больше расстояния до объекта (v > uv>u). При фиксированном фокусном расстоянии ff чем ближе расстояние до объекта u к фокусному расстоянию f, тем больше увеличение MM.
Когда объект находится на расстоянии, равном удвоенному фокусному расстоянию (u = 2fu=2f): изображение имеет тот же размер, что и объект (|M| = 1∣M∣=1).
Когда объект находится на расстоянии, превышающем двойное фокусное расстояние (u > 2fu>2f): образуется перевёрнутое, уменьшенное реальное изображение (|M| < 1∣M∣<1), что является основным принципом работы объектива фотоаппарата.
Видно, что в этом режиме формирования изображения коэффициент увеличения зависит не только от фокусного расстояния ff, но и в значительной степени от положения объекта (расстояния до объекта u).

Сравнительная таблица основных результатов

Легко запомнить
Если вам нужна простая лупа: выберите выпуклую линзу с коротким фокусным расстоянием.
Если вы хотите использовать линзу для получения четкого увеличенного изображения на экране: вам необходимо точно отрегулировать расстояние между объектом и линзой; эффект увеличения наиболее выражен, когда это расстояние немного превышает фокусное расстояние. Фокусное расстояние служит ориентиром для регулировки.
Таким образом, при конкретном применении «лупы» увеличение выпуклой линзы обратно пропорционально ее фокусному расстоянию; в более общем процессе формирования изображения увеличение определяется как фокусным расстоянием, так и расстоянием до объекта.